Was (wer) ist Гиббса распределение - definition

Распределение (каноническое) Гиббса — распределение состояний макроскопической термодинамической системы частиц, находящейся в тепловом равновесии с термостатом (окружающей средой). В классическом случае плотность распределения равна

${\displaystyle w(X,a)={\frac {1}{Z}}e^{-\beta H(X,a)},}$

где ${\displaystyle X}$ — совокупность ${\displaystyle 6N}$ канонических переменных ${\displaystyle N}$ частиц (${\displaystyle 3N}$ координат и ${\displaystyle 3N}$ импульсов), ${\displaystyle a}$ — совокупность внешних параметров, ${\displaystyle H(X,a)}$ — гамильтониан системы, ${\displaystyle \beta }$ — параметр распределения. Величину ${\displaystyle \Theta ={\frac {1}{\beta }}}$ называют модулем распределения. Можно показать, что модуль распределения ${\displaystyle \Theta =kT}$, где ${\displaystyle T}$ — абсолютная температура, ${\displaystyle k}$ — постоянная Больцмана. ${\displaystyle Z}$ — параметр, определяемый исходя из условия нормировки ${\displaystyle \int _{(X)}w(X,a)dX=1}$, откуда следует, что

${\displaystyle Z=\int _{(X)}e^{-\beta H(X,a)}dX.}$

${\displaystyle Z}$ называют интегралом состояний.

Часто используют следующую параметризацию распределения Гиббса:

${\displaystyle w(X,a)=e^{\frac {\Psi (\Theta ,a)-H(X,a)}{\Theta }},}$

где ${\displaystyle \Psi (\Theta ,a)=-\Theta \ln Z(\Theta ,a)}$ — так называемая свободная энергия системы.

В квантовом случае предполагается счётное множество энергетических уровней, и вместо плотности распределения рассматривается вероятность нахождения системы в том или ином состоянии:

${\displaystyle W_{i}=e^{\frac {\Psi -E_{i}}{\Theta }}.}$

Условие нормировки имеет вид ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }W_{i}=1}$, следовательно

${\displaystyle Z=\sum _{i=0}^{\infty }e^{-{\frac {E_{i}}{\Theta }}},}$

что является аналогом интеграла состояний и называется суммой состояний или статистической суммой.

Распределение Гиббса представляет наиболее общую и удобную основу для построения равновесной статистической механики. Знание распределения частиц системы позволяет найти средние значения различных характеристик термодинамической системы по формуле математического ожидания. С учётом большого количества частиц в макроскопических системах, эти математические ожидания в силу закона больших чисел совпадают с реально наблюдаемыми значениями термодинамических параметров.